프로그래머 기초 수학 2-3 - 유리수, 무리수, 실수

유리수

유리수란, 나눗셈 또는 분수, 즉 '비율로 나타낼 수 있는 모든 수' 를 유리수라고 한다. 정수는 모두 자기자신과 1의 비율로 나타낼 수 있으므로 유리수다.

분수에서, 분모와 분자가 1외에 다른 공통된 약수를 가진다면, 그 약수로 동시에 나누어도 값은 변하지 않는데, 이를 약분이라고 하며, 더 이상 나눌 수 없어 분모와 분자가 서로 소인 분수를 기약분수 라고한다.

분수로 나타낸 두 유리수를 계산할 때, 분모가 다르다면 이를 같게 만들어야 한다. 이를 통분 이라고 하며, 통분된 새로운 분모를 공통분모 라고한다.

어떤 수와 다른 수를 비교했을때, 얼마나 큰가 하는 것을 두수의 비라고 하며, $a : b$ 로 나타낸다. 두 비의 값이 같아서 등호로 연결한 것을 비례식이라고 한다. 그리고 등호 가까이에 있는 것은 내항, 바깥에 있는 것은 외항이라고 한다.

비례식은 분수꼴로 써서 풀수 있고, 이 때 양변에 분모의 공배수를 곱한다. 그 결과로 내항의 곱과 외항의 곱이 같아진다.

비율을 $\frac {1}{100}$ 단위로 표현한 것은 백분율이라고 한다. $\frac 1 4$는 $\frac{25}{100}$ 이며 곧 25%라고 표시할 수 있다. 흔치는 않지만, 농도 등을 나타낼 때는 $\frac{1}{1000}$을 쓸 수 있는데, 이는 퍼밀(‰) 이라고 한다.

유리수는 분수 외에 소수점을 써서 소수로 나타낼 수 있다. 이 때 분모가 10의 거듭제곱일 때는, 소수가 유한하게 끝나게 되는데 이를 유한소수 라고한다.

10 진수의 밑인 10의 소인수는 2와 5다. 기약분수인 어떤 유리수의 분모를 소인수 분해했더니, 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어졌다고 다고정하자. 분자는 무엇이든지 간에, 모든 유리수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 $m$ 과 $n$ 중, 더 작은쪽에 해당하는 소인수를, 큰쪽의 거듭제곱과 같을 때까지 분모와 분자에 곱해보자.

결과가 10의 거듭제곱 꼴이 되므로, 이유리수를 소수로 나타내면 유한소수가 된다.

만약 2나 5외에 다른 소인수가 분모에 있으면, 소수점 밑 어딘가부터 같은 숫자 패턴이 반복하게 된다.

이런 소수를 순환소수 라고 한다. 소수점 아래에 반복되는 부분을 순환마디라고 하며, 점을 찍어서 표현한다.

순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 생각해보자.

두 식을 빼면

$1.8\dot{3}$ 처럼, 순환마디가 바로 뒤에 오지 않으면, 순환마디가 동일하도록 만든다음에 뺄셈을 하면 된다.

무리수

유리수 처럼 분수로도 나눌 수 없는 숫자가 있다.

$± \sqrt{2}$는 2의 제곱근 이라고 한다.

이 처럼 분수로 나타낼 수 없는 숫자는 무리수라고 한다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 나타내는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$는 1.4142135...이다. 결과적으로, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.

그리고 $\sqrt{-1}$처럼, 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않으므로, 실수 체계에 속하지 않는다. 무리수도 숫자 이므로, 덧셈 뺄셈은 일반적인 경우와 같다.

근에 안에 있는 수가 제곱수일 경우, 이를 벗겨 내 버릴 수도 있다.

분모에 제곱근 기호가 있다면, 통분 같은 계산을 위해 정수화 하는 것이 좋다. 이를 분모 유리화 라고 한다.